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《高等數學》考試大綱
考試要求
考生應按本大綱的要求，掌握“高等數學”中函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學、無窮級數、常微分方程、向量代數與空間解析幾何的基本概念、基本理論和基本方法。考生應注意各部分知識的結構及知識的聯系；具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法進行推理、證明和計算；能運用所學知識分析并解決一些簡單的實際問題。
考試內容
一、函數、極限和連續
(一)函數
1．理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值，會作出一些簡單的分段函數圖像。
2．掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解函數y=ƒ(x)與其反函數y=ƒ-1(x)之間的關系(定義域、值域、圖像)，會求單調函數的反函數。
4．掌握函數的四則運算與復合運算;掌握復合函數的復合過程。
5．掌握基本初等函數的性質及其圖像。
6．理解初等函數的概念。
7．會建立一些簡單實際問題的函數關系式。
(二)極限
1．理解極限的概念(只要求極限的描述性定義)，能根據極限概念描述函數的變化趨勢。理解函數在一點處極限存在的充分必要條件，會求函數在一點處的左極限與右極限。
2．理解極限的唯一性、有界性和保號性，掌握極限的四則運算法則。
3．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質，無窮小量與無窮大量的關系。會比較無窮小量的階(高階、低階、同階和等價)。會運用等價無窮小量替換求極限。
4．理解極限存在的兩個收斂準則(夾逼準則與單調有界準則)，掌握兩個重要極限：
，，
并能用這兩個重要極限求函數的極限。
(三)連續
1．理解函數在一點處連續的概念，函數在一點處連續與函數在該點處極限存在的關系。會判斷分段函數在分段點的連續性。
2．理解函數在一點處間斷的概念，會求函數的間斷點，并會判斷間斷點的類型。
3．理解“一切初等函數在其定義區間上都是連續的”，并會利用初等函數的連續性求函數的極限。
4．掌握閉區間上連續函數的性質：最值定理(有界性定理)，介值定理(零點存在定理)。會運用介值定理推證一些簡單命題。
二、一元函數微分學
(一)導數與微分
1．理解導數的概念及其幾何意義，了解左導數與右導數的定義，理解函數的可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。
2．會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
3．熟記導數的基本公式，會運用函數的四則運算求導法則，復合函數求導法則和反函數求導法則求導數。會求分段函數的導數。
4．會求隱函數的導數。掌握對數求導法與參數方程求導法。
5．理解高階導數的概念，會求一些簡單的函數的n階導數。
6．理解函數微分的概念，掌握微分運算法則與一階微分形式不變性，理解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。
(二)中值定理及導數的應用
1．理解羅爾(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它們的幾何意義，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明一些簡單的不等式。
2．掌握洛必達(L’Hospital)法則，會用洛必達法則求“”，“”，“”，“”，“”，“”和“”型未定式的極限。
3．會利用導數判定函數的單調性，會求函數的單調區間，會利用函數的單調性證明一些簡單的不等式。
4．理解函數極值的概念，會求函數的極值和最值，會解決一些簡單的應用問題。
5．會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
6．會求曲線的漸近線(水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線)。
7．會描繪一些簡單的函數的圖形。
三、一元函數積分學
(一)不定積分
1．理解原函數與不定積分的概念及其關系，理解原函數存在定理，掌握不定積分的性質。
2．熟記基本不定積分公式。
3．掌握不定積分的第一類換元法(“湊”微分法)，第二類換元法(限于三角換元與一些簡單的根式換元)。
4．掌握不定積分的分部積分法。
5．會求一些簡單的有理函數的不定積分。
(二)定積分
1．理解定積分的概念與幾何意義,掌握定積分的基本性質。
2．理解變限積分函數的概念，掌握變限積分函數求導的方法。
3．掌握牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式。
4．掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
5．理解無窮區間上有界函數的廣義積分與有限區間上無界函數的瑕積分的概念，掌握其計算方法。
6．會用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。
四、無窮級數
(一)數項級數
1．理解級數收斂、級數發散的概念和級數的基本性質，掌握級數收斂的必要條件。
2．熟記幾何級數，調和級數和p—級數的斂散性。會用正項級數的比較審斂法與比值審斂法判別正項級數的斂散性。
3．理解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念。會用萊布尼茨(Leibnitz)判別法判別交錯級數的斂散性。
(二)冪級數
1．理解冪級數、冪級數收斂及和函數的概念。會求冪級數的收斂半徑與收斂區間。
2．掌握冪級數和、差、積的運算。
3．掌握冪級數在其收斂區間內的基本性質：和函數是連續的、和函數可逐項求導及和函數可逐項積分。
4．熟記ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麥克勞林(Maclaurin)級數，會將一些簡單的初等函數展開為x－x0的冪級數。
五、常微分方程
(一)一階常微分方程
1．理解常微分方程的概念，理解常微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。
2．掌握可分離變量微分方程與齊次方程的解法。
3．會求解一階線性微分方程。
(二)二階常系數線性微分方程
1．理解二階常系數線性微分方程解的結構。
2．會求解二階常系數齊次線性微分方程。
3．會求解二階常系數非齊次線性微分方程(非齊次項限定為(Ⅰ)f(x)，其中為x的n次多項式,為實常數；(Ⅱ)，其中，為實常數，，分別為x的n次，m次多項式)。
六、向量代數與空間解析幾何
(一)向量代數
1．理解向量的概念，掌握向量的表示法，會求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在軸上的投影。
2．掌握向量的線性運算(加法運算與數量乘法運算)，會求向量的數量積與向量積。
3．會求兩個非零向量的夾角，掌握兩個非零向量平行、垂直的充分必要條件。
(二)平面與直線
1．會求平面的點法式方程與一般式方程。會判定兩個平面的位置關系。
2．會求點到平面的距離。
3．會求直線的點向式方程、一般式方程和參數式方程。會判定兩條直線的位置關系。
4．會求點到直線的距離，兩條異面直線之間的距離。
5．會判定直線與平面的位置關系。
試卷結構
試卷總分：150分
考試時間：150分鐘
試卷內容比例：
函數、極限和連續約20%
一元函數微分學約30%
一元函數積分學約30%
無窮級數、常微分方程約15%
向量代數與空間解析幾何約5%
試卷題型分值分布：
選擇題共5題，每小題4分，總分20分；
填空題共10題，每小題4分，總分40分；
計算題共8題，總分60分；
綜合題共3題，每小題10分，總分30分。
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