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一.觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函數的知域為.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y∣y<-1或y>1｝)

三.配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成平方數，利用二次函數的值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四.判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2

點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

五.值法

對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的較值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的值。對開區間，若存在值，也可通過求出值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為()

A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

(答案：D)。

六.圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

點撥：根據值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為-2x+1(x≤1)

y=3(-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，+∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

七.單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為{y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

八.換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1(t≥0),則

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函數的值域為{y|y≥-7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習：求函數y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

九.構造法

根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數的知域為{y|y≥5｝。

點評：對于形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)

十.比例法

對于一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。

解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。

函數的值域為{z|z≥1｝.

點評：本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。

練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

十一.利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)

十二.不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值范圍，構造不等式。

解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],

由對數函數的定義知x/(1-x)>0

1-x≠0

解得，0

∴函數的值域(0，1)。

點評：考查函數自變量的取值范圍構造不等式(組)或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。

以下供練習選用：求下列函數的值域

1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3｝)

2.Y=2x/(2x-1)。(y>1或y<0)

注意變量哦