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823-《數學分析》考試大綱

一、考試性質

《數學分析》是基礎數學專業、計算數學專業、概率論與數理統計專業、應用數學專業、運籌學與控制論專業、系統理論專業碩士學位研究生入學考試的科目之一。《數學分析》考試要求能反映數學學科的特點，科學、公平、準確地測試考生的基本素質和綜合能力，很好地選拔具有科研發展潛力的優秀人才進入碩士階段學習，為國家培養掌握現代數學方面的基礎理論知識，具有較強分析與解決實際問題能力的高層次的應用型的和復合型的數學專業人才。

二、考試要求

考查考生對《數學分析》里的基本概念、基礎知識的掌握情況，考察考生的分析能力、計算能力和對知識的綜合運用能力。

三、試卷分值、考試時間和答題方式

本科目試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘，答題方式為閉卷、筆試。

四、試題結構

（1）試卷題型結構

填空題：30分

計算題：60分

證明題：60分

（2）內容結構

各部分內容所占分值為

極限論： 約30分

單變量微積分學： 約40分

級數： 約40分

多變量微積分學： 約40分

五、考查的知識及范圍

1、變量與函數

函數的概念；復合函數和反函數；基本初等函數

2、極限與連續

數列的極限和無窮大量；函數的極限；連續函數

3、極限續論

關于實數的基本定理；閉區間上連續函數性質

4、導數與微分

導數的引進與定義；簡單函數的導數；求導法則；復合函數求導法；微分及其運算；隱函數及參數方程所表示函數的求導法；不可導的函數舉例；高階導數與高階微分

5、微分學的基本定理及其應用

微分中值定理；泰勒公式；函數的升降、凸性與極值；平面曲線的曲率；待定型；方程的近似解

6、不定積分

不定積分的概念及運算法則；不定積分的計算

7、定積分

定積分概念；定積分存在條件；定積分的性質；定積分計算

8、定積分的應用和近似計算

平面圖形面積；曲線的弧長；體積；旋轉曲面的面積；質心；平均值、功

9、數項級數

上極限與下極限；級數的收斂性及基本性質；正項級數；任意項級數；絕對收斂級和條件收斂級數的性質；無窮乘積

10、反常積分

無窮限的反常積分；無界函數的反常積分

11、函數項級數、冪級數

函數項級數的一致收斂性；冪級數；逼近定理

12、Fourier級數和Fourier變換

Fourier級數； Fourier變換

13、多元函數的極限與連續

平面點集；多元函數的極限和連續性

14、偏導數和全微分

偏導數和全微分的計算；求復合函數偏導數的鏈式法則；由方程（組）所確定的函數的求導法；空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線；方向導數和梯度；泰勒公式

15、極值和條件極值

極值和最小二乘法；條件極值

16、隱函數存在定理、函數相關

隱函數存在定理；函數行列式的性質、函數相關

17、含參變量積分

含參變量的積分的定義；含參變量的積分的分析性質：連續性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理；含參變量的積分的計算。

18、含參變量的反常積分

參變量的反常積分的一致收斂的定義及判別法：Cauchy收斂原理、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法；一致收斂積分的分析性質：連續性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理；Beta函數和Gamma函數。

19、積分的定義和性質

二重、三重積分、第一類曲線、第一類曲面積分的概念；積分的性質

20、重積分的計算及應用

二重積分的計算；三重積分的計算；積分在物理上的應用；反常重積分

21、曲線積分和曲面積分的計算

第一類曲線積分的計算；第一類曲面積分的計算；第二類曲線積分；第二類曲面積分

22、各種積分間的聯系和場論初步

各種積分間的聯系；格林(Green)公式；高斯(Gauss)公式；斯托克司(Stokes)公式；曲線積分和路徑的無關性；場論初步