科目代碼、名稱:665 數學分析
專業類別：■學術學位 □專業學位
適用專業: 數學
一、基本內容
1、函數與極限
(1)函數
掌握函數的定義，函數的表示法，函數的運算，會求給定函數的反函數，熟悉初等函數的性質，熟悉有界函數、單調函數、奇偶函數、周期函數的性質。
(2)數列極限
掌握數列極限的定義，可用 語言證明數列極限的存在性，不存在性，能求給定數列的極限，熟悉收斂數列的性質和數列極限存在的條件。
(3)函數極限
熟悉各種極限定義，可用 語言證明函數極限的存在性，熟悉函數極限的性質和存在條件，明確無窮小量和無窮大量階的比較，會求給定函數的極限。
(4)實數集和實數完備性
掌握實數集上下確界概念。熟悉實數完備性的幾個基本定理，掌握其證明和應用。
(5)函數的連續性
熟悉函數連續的定義，函數間斷點的分類，掌握連續函數的性質。掌握一致連續的概念，能夠證明和函數連續性有關的命題。
2、一元函數微分學
(1)導數
熟悉導數、左右導數、高階導數概念，明確導數的幾何意義，了解導函數的性質，掌握求導法則，會求初等函數、分段函數、參數方程決定函數和隱函數的導數、高階導數。明確可導與連續的關系，能正確討論函數的可導性。
(2)微分
掌握微分、高階微分定義，微分的運算法則，求微分和高階微分的方法，會利用微分進行近似計算。
(3)中值定理與泰勒公式
掌握費馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并能利用這些定理證明命題，證明不等式。熟悉幾種類型的泰勒公式。熟悉基本初等函數的泰勒公式，會將給定函數泰勒展開。能用泰勒公式進行近似計算。
(4)函數作圖
掌握函數駐點、拐點、極值、最大最小值、漸近線的求法，熟悉函數單調性、凸性的討論，能進行函數作圖。
3、一元函數積分學
(1)不定積分
掌握原函數和不定積分概念，熟練掌握求不定積分的方法。
(2)定積分
熟悉定積分的定義、可積的必要條件和充分條件、常用可積函數類、定積分的性質、定積分的計算。熟練掌握微積分學基本定理，會求積分變限函數的極限、導數。掌握無窮積分和瑕積分的收斂判別法、絕對收斂判別法，明確定積分與反常積分性質方面的異同。
會用定積分求平面圖形的面積、已知截面面積的立體體積、曲線的弧長、曲率。熟悉微元法。
4、多元函數及其微分學
(1)多元函數的極限與連續
掌握重極限與累次極限的定義、聯系與區別，能熟練討論極限的存在性，會求極限值。
(2)偏導、微分和方向導數
掌握偏導、微分和方向導數的概念、求法，特別是復合函數高階偏導的求法，隱函數偏導的求法。熟悉可微性條件、幾何意義與應用。能熟練討論多元函數連續、可微、偏導連續之間的關系，能舉出具有其中幾種性質而不具有其余性質的多元函數例子。
能利用偏導數求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，空間曲面的切平面與法線。熟練掌握條件極值的求法，有界閉區域上函數的最大最小值求法。
5、多元函數積分學
(1)重積分
熟悉重積分的定義和可積性條件，熟練掌握重積分的計算、交換積分次序方法，會利用重積分計算面積、體積。
(2)曲線積分和曲面積分
掌握第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分的定義、計算方法，兩類曲線積分的關系，兩類曲面積分的關系，曲線積分與二重積分的關系(格林公式)，曲面積分與三重積分的關系(高斯公式)，曲面積分與曲線積分的關系(斯托克斯公式)。
6、級數理論
(1)數項級數
掌握級數、正項級數、交錯級數的概念和收斂判別法，明確級數和數列的關系。
(2)函數列與函數項級數
掌握函數列與函數項級數一致收斂的概念、判別法、性質, 和函數的連續性，級數的逐項可導、逐項可積性。
(3)冪級數
掌握冪級數收斂半徑、收斂區間的求法，熟練掌握函數的泰勒級數展開法，注意利用逐項求導和逐項積分的展開方法。
(4)傅里葉級數
熟悉傅里葉級數的收斂定理，掌握函數展開成傅里葉級數的條件與方法。
二、考試要求(包括考試時間、總分、考試方式、題型、分數比例等)
考試時間：180分鐘
總分：150分
考試方式：筆試，閉卷
題型、分數比例：計算題約占40%，概念題、證明題約占60%。
三、主要參考書目
1、《數學分析》(第三版，上下冊)華東師范大學數學系編著 高等教育出版社 2001或之后版本
2、《數學分析》(第一版)歐陽光中、姚允龍、周淵編著 復旦大學出版社 2003 或之后版本
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