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一、考試大綱適用對象及考試性質

本大綱適用于重慶市普通高校申請“專升本”的理工類、經濟類各專業(yè)高職高專學生，目的在于考核和檢測學生掌握《高等數學》教學大綱基本要求與應用能力的情況。

按本大綱進行的考試系選拔性考試，其結果將作為重慶市普通高校高職高專學生申請“專升本”的成績依據。

二、考試形式

（一）試卷題型及分值分布

1．試卷題型

單選題、填空題、計算題、應用題、證明題。

2．分值分布

試卷總分為120 分。

單選題與填空題 約 40 分。

計算題與應用題 約 73 分。

證明題 約 7 分。

各部分內容約占比例如下：

微積分（包括向量代數與空間解析幾何、微分方程、無窮級數）約70%

線性代數約20%

概率論初步約10%

（二）考試方式及考試時間

1．考試方式為閉卷筆試。

2．考試時間為120分鐘。

三、考試內容及要求

（一）考試內容

1．一元函數微分學

（1）函數，函數的奇偶性、單調性、周期性、有界性，復合函數與反函數，初等函數；

（2）數列極限與函數極限，兩個重要極限；

（3）無窮小、無窮大及兩者關系，無窮小的比較；

（4）函數的連續(xù)性、間斷點，間斷點的分類；

（5）閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質；

（6）函數的導數，基本求導公式與求導法則，導數的幾何意義，高階導數，微分；

（7）中值定理、洛必達法則；

（8）極值，函數的單調性、凹凸性及拐點、函數作圖；

2．一元函數積分學

（1）不定積分的概念與性質，不定積分與微分之間的關系；

（2）不定積分的換元法與分部積分法；

（3）定積分的概念與性質；

（4）積分上限函數的定義及積分上限函數的導數；

（5）定積分的換元法和分部積分法；

（6）平面圖形的面積及旋轉體的體積；

（7）反常積分的概念與計算。

3．向量代數與空間解析幾何

（1）向量的運算，向量平行垂直的條件；

（2）平面方程；

（3）空間直線方程；

（4）平面、直線間的平行垂直關系。

4．多元函數微積分學

（1）二元函數的概念及其定義域的求法；

（2）偏導數的定義及計算；

（3）二元函數的極值，條件極值；

（4）全微分的定義及計算；

（5）二重積分的概念；

（6）二重積分的計算。

5．微分方程

（1）微分方程的基本概念；

（2）可分離變量的微分方程；

（3）齊次微分方程；

（4）一階線性微分方程；

（5）二階常系數齊次線性微分方程。

6．無窮級數

（1）無窮級數的概念和性質；

（2）常數項級數的審斂法；

（3）冪級數及其收斂性。

7．線性代數

（1）行列式的概念與性質；

（2）線性方程組的克萊姆法則；

（3）行列式按行（列）展開定理；

（4）矩陣的概念與運算；

（5）逆矩陣的概念與性質；

（6）矩陣的初等變換；

（7）矩陣的秩；

（8）線性方程組解的性質和解的結構；

（9）齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及解法；

（10）非齊次線性方程組有解的充分必要條件及解法。

8．概率論初步

（1）隨機事件及其概率；

（2）隨機變量及其分布；

（3）隨機變量的數字特征。

（二）考試基本要求

1．一元函數微分學

（1）理解函數概念，知道函數的表示法；理解函數的兩要素，會求函數的定義域及函數值；

（2）了解函數的奇偶性、單調性、周期性、有界性等定義；

（3）了解復合函數與反函數的定義，會求單調函數的反函數；

（4）知道基本初等函數的性質與圖像；

（5）了解各類極限概念（包括左、右極限），熟練掌握求各類極限的方法；

（6）理解無窮小量與無窮大量的概念及兩者的關系，掌握無窮小量的性質和無窮小量的比較；

（7）掌握兩個重要極限；

（8）理解函數連續(xù)與間斷的定義；知道間斷點的分類；會利用連續(xù)性求極限；會判別間斷點的類型；

（9）了解閉區(qū)間上連續(xù)函數的有界性定理、最值定理、介值定理、零點存在定理，會應用零點存在定理證明某些具體方程有實根；

（10）理解導數的定義，會根據定義求函數的導數；

（11）知道可導與連續(xù)的關系；

（12）熟練掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則、復合函數求導法則、隱函數求導法、對數求導法及參數方程求導法（參數方程求導限于一階）；

（13）熟練掌握初等函數的一階和高階導數的求法，會求曲線上指定點的切線方程和法線方程；

（14）了解微分的定義、可微與可導的關系，以及一階微分形式的不變性；掌握微分運算與求導運算的關系；會求函數的微分；

（15）知道羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理的內容。會用羅爾定理證明方程根的存在性，會用拉格朗日定理證明一些簡單不等式；

（16）熟練掌握用洛必達（L’Hospital）法則求不定式極限的方法；

（17）知道極值的定義、極值存在的必要條件及兩個充分條件；

（18）會求函數的單調區(qū)間和極值；會求閉區(qū)間上連續(xù)函數的最大值與最小值；會求一些簡單應用問題的最值，會應用單調性證明不等式；

（19）了解函數的凹凸性及曲線拐點的定義，會求函數的凹凸區(qū)間及曲線的拐點；

（20）會求曲線的漸近線（水平、垂直），會利用導數方法描繪一些簡單函數的圖形。

2．一元函數積分學

（1）知道不定積分的概念和性質；

（2）熟練掌握不定積分的基本公式；

（3）熟練掌握不定積分的第一換元積分法和分部積分法；

（4）掌握不定積分的第二換元法（限于三角代換法、簡單根式代換法）；

（5）知道積分變上限函數的定義，掌握求積分變上限函數導數的方法；

（6）理解定積分的概念和幾何意義，掌握定積分的基本性質；

（7）熟練掌握牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式，并會用換元積分法和分部積分法計算定積分；

（8）掌握定積分的微元法，會求直角坐標系下的平面圖形的面積及平面圖形繞坐標軸旋轉的旋轉體的體積；

（9）理解無窮區(qū)間上有界函數的廣義積分與有限區(qū)間上無界函數的瑕積分的概念，掌握其計算。

3．向量代數與空間解析幾何

（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦；

（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積、向量積的計算方法；

（3）熟練掌握二向量平行、垂直的條件；

（4）會求平面的點法式方程、一般式方程、截距式方程。會判定兩平面的垂直、平行；

（5）了解直線的一般式方程，會求直線的對稱式（點向式）方程、參數式方程。會判定兩直線平行、垂直；

（6）會判定直線與平面的位置關系（垂直、平行、直線在平面上）。

4．多元函數微積分學

（1）理解二元函數的概念，會求一些簡單二元函數的定義域；

（2）熟練掌握顯函數的一階、高階偏導數的求法；

（3）會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值；

（4）熟練掌握二元函數全微分的求法；

（5）熟練掌握用直角坐標計算二重積分的方法；

（6）會用極坐標計算二重積分。

5．微分方程

（1）理解微分方程的定義及階、解、通解等概念；

（2）熟練掌握可分離變量的微分方程、齊次微分方程及一階線性微分方程的解法；

（3）理解二階常系數齊次線性微分方程解的性質及通解的結構；

（4）熟練掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

6．無窮級數

（1）理解無窮級數收斂、發(fā)散的概念；

（2）知道級數收斂的必要條件和級數的主要性質；

（3）知道等比級數和P級數的斂散性；

（4）熟練掌握正項級數的比值審斂法，會用正項級數的比較判別法；

（5）理解冪級數的收斂半徑與收斂區(qū)間的定義；

（6）熟練掌握求冪級數的收斂半徑和收斂區(qū)間的方法。

7．線性代數

（1）理解行列式的概念，知道元素的余子式、代數余子式的含義，掌握行列式的性質；

（2）掌握行列式的展開定理和行列式的計算；

（3）會用克萊姆（Cramer）法則；

（4）熟練掌握矩陣的線性運算及運算法則、矩陣的乘法及運算法則；

（5）理解矩陣的逆矩陣及矩陣的秩的概念；

（6）掌握求矩陣的逆和秩的方法；

（7）會解簡單的矩陣方程；

（8）掌握矩陣的初等變換；

（9）掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，掌握非齊次線性方程組解的結構和判定；

（10）熟練掌握線性方程組的解法。

8．概率論初步

（1）理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系和運算；

（2）了解概率的統(tǒng)計定義，掌握概率的基本性質和概率的加法公式；

（3）掌握古典概率的計算公式，會求一些事件發(fā)生的概率；

（4）掌握事件獨立性的定義，能用事件的獨立性計算概率；

（5）理解隨機變量的概念，會求一些簡單離散型隨機變量的分布列；

（6）理解隨機變量的數學期望及方差的概念，掌握期望和方差的基本性質，會求一些簡單隨機變量的期望和方差。

*注：本大綱對理論、概念等從高到低的要求是：理解，知道，了解；對方法、計算等從高到低的要求是：熟練掌握，掌握，會。

參考書目：

1.同濟大學數學系 高等數學（第六版） 高等教育出版社 2007

2.李開慧. 余英. 應用高等數學基礎（上、下冊）重慶大學出版社 2005.7

3.彭玉芳等 線性代數（第二版） 高等教育出版社 2003

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