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高等代數考試大綱

一、參考書目

北京大學數學系代數小組編，《高等代數》（第三版），2003，高等教育出版社

二、考試內容與范圍

考試范圍：多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換和歐氏空間。

第一章、多項式

1、 多項式的整除性，帶余除法；

2、多項式的因式分解，最大公因式和重因式；

3、不可約多項式的判定和性質；

4、多項式函數和多項式的根；

5、實數域、復數域和有理數域上的多項式。

第二章、行列式

1、行列式的性質和計算；

2、范德蒙行列式、常用計算技巧；

3、行列式按行按列展開、拉普拉斯展開；

4、克萊姆法則。

第三章、矩陣

矩陣運算；

初等矩陣與初等變換；

3、可逆矩陣；

4、分塊矩陣；

5、矩陣的秩；

6、矩陣乘積的秩和行列式；

7、矩陣的等價，合同，相似，正交相似；

8、矩陣的特征根和特征向量，矩陣的對解化。

第四章 線性方程組

1、線性方程組的求解和討論；

2、線性方程組有解判別定理；

3、線性方程組的解結構及其解空間的討論。

第五章 二次型

1、二次型的標準形與合同變換；

2、復數域和實數域上二次型的標準形，規范型；

3、正定二次型及其討論。

第六章 線性空間

1、線性空間的定義和性質；

2、向量的線性相關性討論、極大線性無關組；

3、基，維數和坐標；

4、基變換和坐標變換；

5、線性子空間；

6、子空間的交與和、直和。

第七章 線性變換

1、線性變換的概念和性質；

2、線性變換的運算；

3、線性變換的矩陣；

4、線性變換的值域和核；

5、線性變換（矩陣）的特征多項式，特征值與特征向量；

6、不變子空間。

第八章 歐氏空間

1、向量內積的定義和性質；

2、標準正交基（組）和度量矩陣；

3、正交變換和正交矩陣；

4、對稱變換、實對稱矩陣的標準形。

四、試卷結構及題型比例

試卷題型：計算題、證明題和綜合題

試卷滿分：150分

五、考試時間和考試方式

考試時間：180分鐘（3小時）；

考試方式：閉卷筆試；所列題目全部為必答題。

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