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課程名稱：復變函數
一、考試的總體要求
本門課程主要要求：掌握該課程的基本概念及其性質，掌握復變函數的微積分理論、級數理論、留數、共形映射等方面的基礎知識和基本方法，要求能用這些理論和方法解決有關問題的能力。
二、考試的內容及比例
1、復數與復變函數（5%～10％）：
(1) 掌握復數、復平面上的點集、復數的四則運算、乘方與開方、復數的三角表示。
(2) 掌握復變函數、極限、連續性。
(3) 了解約當曲線定理、復球面與無窮遠點。
2、解析函數（10%～20％）：
(1) 掌握解析函數的概念與柯西-黎曼條件、求導法則、可微的必要條件和充分條件、奇點。
(2) 多值解析函數的支點、割線、解析分支。
(3) 掌握初等解析函數（正整數次冪函數、指數函數、三角函數、雙曲函數）。
(4) 了解初等多值函數（根式函數、對數函數）、 初等多值函數（反三角函數、一般指數函數、一般冪函數）。
3、復變函數的積分（15%～25％）：
(1) 掌握復積分的概念及基本性質。
(2) 掌握柯西積分定理（單連通與復連通域）、定積分與原函數。
(3) 掌握柯西積分公式、解析函數的無窮可微性、劉維爾定理、莫勒拉定理。
(4) 理解調和函數與共軛調和函數的概念。
4、解析函數的冪級數表示法（10～15％）：
(1) 了解復級數的基本性質、收斂與一致收斂性。
(2) 掌握冪級數、收斂半徑、和函數性質、解析函數的泰勒展式、初等函數的泰勒展開。
(3) 掌握解析函數零點的孤立性及唯一性定理、最大模原理。
5、解析函數的羅朗展式與孤立奇點（10%～15％）：
(1) 掌握解析函數的羅朗展式、解析函數的孤立奇點。
(2) 掌握解析函數在無窮遠點的性質。
(3) 了解整函數與亞純函數的概念及性質。
6、留數理論及基應用（10%～15％）：
(1) 掌握留數的概念和求法、利用留數計算周線積分。
(2) 會利用留數定理計算一些實積分（前三種類型）。
(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及應用。
7、共形映射（5%～10％）：
(1) 掌握解析變換的特征、導數的幾何意義、單葉解析函數的基本性質。。
(2) 掌握分式線性變換的映射特性、某些初等函數所構成的共形映射。
三、參考書目
《復變函數論》（第三版）鐘玉泉編 高等教育出版社 2004.6
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