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應用數學——專業綜合 考試基本要求
第一部分 數學物理方程
一、一維波動方程
要求掌握： 一維波動方程的建立；定解問題的提出；齊次方程混合問題的Fourier解法（分離變量法）；電報方程；強迫振動，非齊次方程的求解。
二、熱傳導方程
要求掌握：熱傳導方程的建立；熱傳導方程的Fourier級數解；初值問題的Fourier積分解；一端有界的熱傳導問題。
三、調和方程圓的邊值問題
要求掌握：圓的Dirichlet問題的提法； Fourier級數解； 函數的引入、性質
四、波動方程
要求掌握：初值問題達D’Alembert解的提出；解的物理意義；依賴區間、決定區域和影響區域。高維波動方程的初值問題；降維法；解的物理意義；非齊次波動方程；推遲勢。
五、調和方程解的積分公式
要求掌握：Green公式；調和函數的基本性質；調和方程球的Dirichlet問題的積分公式；Green函數；Laplace方程Dirichlet問題解的Green函數表示；Poisson方程的導出；Poisson方程Green問題的積分公式。
六、定解問題的適定性
要求掌握：適定性的定義和反向問題的不適定性。
第二部分 復變函數
一、復數與復變函數
理解復數、區域、單連通區域、多連通區域、約當曲線、光滑（逐段光滑）曲線、無窮遠點、擴充復平面等概念；理解復數的性質，掌握復數的運算，理解復數的模和輻角的性質；理解并掌握復變函數極限與連續性的概念與性質。
二、解析函數
理解解析函數的定義、性質及其充分必要條件；了解函數在一點解析與函數在一點可微的區別，熟練掌握利用Cauchy-Riemann條件判別解析函數的方法；掌握指數函數、三角函數的定義和性質，注意與實指數函數、實三角函數的區別；了解初等多值函數單值化方法（限制輻角或割破平面）；熟練掌握解析函數在單葉性區域內由初值確定終值；理解反三角函數、一般冪函數、一般指數函數的定義與計算。
三、復變函數的積分
理解復積分的概念、性質，掌握復積分的計算方法；理解Cauchy積分定理，熟練掌握利用Cauchy積分定理計算函數沿閉曲線的積分；理解Cauchy積分定理的推廣；理解Cauchy積分公式、高階導數公式，熟練掌握利用Cauchy積分公式、高階導數公式計算函數沿閉曲線的積分；了解解析函數的無窮可微性；了解Cauchy不等式與Liouville定理，掌握其證明方法；掌握利用Morera定理判斷解析函數的方法；熟練掌握已知解析函數的實部（或虛部），求該解析函數的方法。
四、解析函數的冪級數表示法
了解復級數的基本概念；掌握復變函數項級數的收斂、一致收斂、內閉一致收斂的定義及判別方法；理解解析函數項級數的和函數的性質；理解冪級數的斂散性；理解收斂圓、收斂半徑的概念；了解冪級數和的解析性；理解解析函數的冪級數表示；熟練掌握一些初等函數的泰勒展式；了解冪級數的和函數在收斂圓周上的奇點的存在性；理解解析函數的零點孤立性、唯一性定理、最大模原理。
五、解析函數的Laurent展式與孤立奇點
了解雙邊冪級數的有關概念；了解Laurent定理，熟練掌握將解析函數分別在指定圓環和孤立奇點去心鄰域內展成Laurent級數的方法；了解Laurent級數與Taylor級數的關系；理解孤立奇點的概念，掌握判斷孤立奇點類型的方法；了解解析函數在孤立奇點去心鄰域內的性質；掌握解析函數在無窮遠點的性質；了解整函數與亞純函數的概念。
六、 留數理論及其應用
理解留數的定義，熟練掌握留數的求法；理解留數定理，掌握利用Cauchy留數定理計算函數沿閉曲線的積分；熟練掌握用留數定理計算實積分；了解對數留數的概念；理解輻角原理、Rouche定理，熟練掌握求解析函數在指定區域內的零點個數的方法。
七、共形映射
了解解析變換的特性（保域性、保角性、共形性）；理解分式線性變換的映射性質，掌握將區域D共形映射為區域G 的分式線形變換；了解冪函數、指數函數、根式函數、對數函數的映射性質，掌握它們所構成的共形映射。
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