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應用數學——專業綜合

考試基本要求

第一部分 數學物理方程

一、一維波動方程

要求掌握： 一維波動方程的建立;定解問題的提出;齊次方程混合問題的Fourier解法(分離變量法);電報方程;強迫振動，非齊次方程的求解。

二、熱傳導方程

要求掌握：熱傳導方程的建立;熱傳導方程的Fourier級數解;初值問題的Fourier積分解;一端有界的熱傳導問題。

三、調和方程圓的邊值問題

要求掌握：圓的Dirichlet問題的提法; Fourier級數解; 函數的引入、性質

四、波動方程

要求掌握：初值問題達D’Alembert解的提出;解的物理意義;依賴區間、決定區域和影響區域。高維波動方程的初值問題;降維法;解的物理意義;非齊次波動方程;推遲勢。

五、調和方程解的積分公式

要求掌握：Green公式;調和函數的基本性質;調和方程球的Dirichlet問題的積分公式;Green函數;Laplace方程Dirichlet問題解的Green函數表示;Poisson方程的導出;Poisson方程Green問題的積分公式。

六、定解問題的適定性

要求掌握：適定性的定義和反向問題的不適定性。

第二部分 復變函數

一、復數與復變函數

理解復數、區域、單連通區域、多連通區域、約當曲線、光滑(逐段光滑)曲線、無窮遠點、擴充復平面等概念;理解復數的性質，掌握復數的運算，理解復數的模和輻角的性質;理解并掌握復變函數極限與連續性的概念與性質。

二、解析函數

理解解析函數的定義、性質及其充分必要條件;了解函數在一點解析與函數在一點可微的區別，熟練掌握利用Cauchy-Riemann條件判別解析函數的方法;掌握指數函數、三角函數的定義和性質，注意與實指數函數、實三角函數的區別;了解初等多值函數單值化方法(限制輻角或割破平面);熟練掌握解析函數在單葉性區域內由初值確定終值;理解反三角函數、一般冪函數、一般指數函數的定義與計算。

三、復變函數的積分

理解復積分的概念、性質，掌握復積分的計算方法;理解Cauchy積分定理，熟練掌握利用Cauchy積分定理計算函數沿閉曲線的積分;理解Cauchy積分定理的推廣;理解Cauchy積分公式、高階導數公式，熟練掌握利用Cauchy積分公式、高階導數公式計算函數沿閉曲線的積分;了解解析函數的無窮可微性;了解Cauchy不等式與Liouville定理，掌握其證明方法;掌握利用Morera定理判斷解析函數的方法;熟練掌握已知解析函數的實部(或虛部)，求該解析函數的方法。

四、解析函數的冪級數表示法

了解復級數的基本概念;掌握復變函數項級數的收斂、一致收斂、內閉一致收斂的定義及判別方法;理解解析函數項級數的和函數的性質;理解冪級數的斂散性;理解收斂圓、收斂半徑的概念;了解冪級數和的解析性;理解解析函數的冪級數表示;熟練掌握一些初等函數的泰勒展式;了解冪級數的和函數在收斂圓周上的奇點的存在性;理解解析函數的零點孤立性、唯一性定理、最大模原理。

五、解析函數的Laurent展式與孤立奇點

了解雙邊冪級數的有關概念;了解Laurent定理，熟練掌握將解析函數分別在指定圓環和孤立奇點去心鄰域內展成Laurent級數的方法;了解Laurent級數與Taylor級數的關系;理解孤立奇點的概念，掌握判斷孤立奇點類型的方法;了解解析函數在孤立奇點去心鄰域內的性質;掌握解析函數在無窮遠點的性質;了解整函數與亞純函數的概念。

六、 留數理論及其應用

理解留數的定義，熟練掌握留數的求法;理解留數定理，掌握利用Cauchy留數定理計算函數沿閉曲線的積分;熟練掌握用留數定理計算實積分;了解對數留數的概念;理解輻角原理、Rouche定理，熟練掌握求解析函數在指定區域內的零點個數的方法。

七、共形映射

了解解析變換的特性(保域性、保角性、共形性);理解分式線性變換的映射性質，掌握將區域D共形映射為區域G 的分式線形變換;了解冪函數、指數函數、根式函數、對數函數的映射性質，掌握它們所構成的共形映射。