科目代碼、名稱:861 高等代數
專業類別：■學術學位 □專業學位
適用專業:數 學
一、基本內容
1、多項式
本部分要求掌握一元多項式及其整除問題、多項式函數、最大公因式、重因式和因式分解定理等有關概念和基本結論，能夠進行多項式的有關計算和有關問題的證明。
2、行列式
(1)定義與性質
要求熟悉排列、逆序、對換等概念;理解行列式的定義;掌握行列式的性質。
(2)計算與證明
較好掌握行列式的計算技巧和方法，能較熟練地計算行列式和證明有關行列式的結論。
3、向量的線性相關性與線性方程組
(1)n維向量空間
掌握n維向量空間的定義、向量組線性相關與線性無關等概念并能證明有關結論。
(2)向量組的秩和矩陣的秩
掌握向量組的秩、矩陣的秩等有關概念，可利用矩陣秩的概念討論線性方程組的可解性，并能證明有關結論。
(3)線性方程組解的結構
掌握線性方程組解的判定定理，會求有解的線性方程組的通解，熟練掌握線性方程組常用的解
法，并能證明有關結論。
4、矩陣
(1)矩陣的概念與運算
熟練掌握矩陣的運算法則，如矩陣的加、減、數乘、乘法、轉置、方陣取行列式等。熟悉矩陣與行列式的關系。會求矩陣的冪，會求解矩陣方程等。
(2)矩陣的逆、分塊矩陣
掌握可逆矩陣、奇異矩陣、非退化矩陣等概念。會計算方陣的伴隨矩陣，能計算可逆陣的逆矩陣。能利用分塊方法進行矩陣運算。能證明有關結論。
(3)初等矩陣與初等變換
掌握矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，明確二者關系。能熟練進行矩陣的初等變換，能利用初等變換求解線性方程組，并能進行有關證明。
(4) 相似矩陣與矩陣合同
熟悉相似矩陣與矩陣合同的概念，能求矩陣變換并能將矩陣對角化，能證明有關結論。
5、二次型
(1)基本概念與基本變換
掌握二次型、二次型的標準型、對稱矩陣等概念，明確彼此的關系。可將二次型化為標準型，可求與對稱矩陣合同的對角矩陣，可由已知對稱矩陣求二次型及其標準型，并能證明有關結論。
(2)正定、負定二次型
掌握正定、負定二次型、半正定、半負定矩陣等概念及其判別方法，并能證明有關結論。
6、線性空間
(1)基本概念:
掌握線性空間、維數、基、坐標、線性子空間及直和等概念，并能證明基本性質。
(2)基變換與坐標變換
掌握基變換與坐標變換方法，熟悉并能證明有關結論。
7、線性變換
(1)定義、運算與性質
掌握線性變換的定義、運算與性質。熟悉可逆變換、逆變換，并能證明基本性質。
(2)線性變換的矩陣
對線性空間的線性變換，明確其在給定基下的矩陣與該變換的對應關系，并能證明有關結論。
(3)特征值與特征向量
能熟練計算線性變換和方陣的特征值與相應的特征向量，能夠應用并能證明有關結論。
8、 矩陣
(1) 矩陣在初等變換下的標準形
會求 矩陣在初等變換下的標準形，會求 矩陣的初等因子、不變因子、行列式因子。
(2)矩陣的若兒當標準形與有理標準形
會計算矩陣的若兒當標準形與有理標準形，熟悉并能證明有關結論。
9、歐幾里得空間
掌握歐幾里得空間的定義與性質，掌握內積、正交性、標準正交基的概念及有關計算方法，能證明有關性質和結論。
二、考試要求(包括考試時間、總分、考試方式、題型、分數比例等)
考試時間：180分鐘
總 分：150分
考試方式：筆試，閉卷
題 型：填空題，計算與證明題
分數比例：填空題(60分)占40%，計算與證明題(90分)占60%。
三、主要參考書目
1、《高等代數》(第三版)，北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組著， 高等教育出版社 2003 或之后版本
2、《高等代數(上下冊)》(第二版)， 丘維聲著， 高等教育出版社， 1999 或之后版本
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