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一、等差數列

【經典真題詳解】

1．等差數列

等差數列指數列各項中后一項減去前一項之值為同一常數的數列。等差數列是數學推理最基礎的題型，它的特點是各項數值均勻遞增或遞減，數值變化幅度相同。

【例題1】(2005年國家)

1，1，2，6，( )

A．21    B．22   C．23    D．24

【解析】**為D。數列中后一個數字與前一個數字之間的商形成一個等差數列，即∶1÷1＝1，2÷1＝2，6÷2＝3，24÷6＝4。

【例題21(2005年國家)

1，3，3，5，7，9，13，15，(   )，(   )

A．19   21

B．19   23

C．21   23

D．27   30

【解析】**為C。此題含有兩個等差數列∶相鄰奇數項之間的差是以2為首項、公差為2的等差數列，相鄰偶數項之間的差也是以2為首項、公差為2的等差數列。

2．二級等差數列

如果一個數列的后一項減去前一項所得的新的數列是等差數列，那么原數列就是二級等差數列。

【例題11(2002年國家)

2，6，12，20，30，( )

A．38    B．42    C．48    D．56

【解析】**為B。

得到一個以2為公差的等差數列，所以，30＋12＝42。故選B。

【例題2】(2008年江蘇)

20，20，33，59，98，( )

A．150   B．152    C．154    D．156

【解析】**為A。

得到一個以13為公差的等差數列，所以52＋98＝150。故選A。

【例題3】(2007年浙江)

0．5，2，9/2，8，( )

A．12．5   B．27/2   C．14×1/2    D．16

【解析】**為A。

得到一個以1為公差的等差數列，所以8＋4．5＝12．5。故選A。

3．二級等差數列的變式

數列的后一項減前一項所得差組成的新數列是一個呈某種規律變化的數列，這個數列可能是自然數列、平方數列、立方數列或者與加減“1”、“2”的形式有關。

【例題1】(2005年國家)

1，2，5，14，( )

A．31    B．41    C．51   D．61

【解析】**為B。

做差后，得到一個公比為3的等比差列，所以14＋27＝41。因此，正確**為B。

【例題21(2005年國家)

1，10，31，70，133，( )

A．136   B．186   C．226   D．256

【解析】**為C。

做差后，得到一個新數列∶9，21，39，62，( )，其中9＝3x 3，21＝3×7，39＝13×3，63＝3×21，而3，7，13，21，相鄰兩數的差是一個以4為首項、2為公差的等差數列，由此可見(21＋10)×3＋133＝226。故選C。

【例題3】(2005年國家)

19，46，110，235，( )

A．256   B．320    C．451    D．478

【解析】**為C。

做差后，得到一個新數列∶27，64，125，( )，此為一個立方數列，即33，43，53，63。因此235＋216＝451。故選C。

【例題4】(2002年國家)

32，27，23，20，18，( )

A．14   B．15    C．16    D．17

【解析】**為D。

做差后，得一個以1為公差的等差數列，所以18－1＝17，因此，正確**為D。

【例題5】(2008年北京)

32，48，40，44，42，( )

A．43   B．45   C．47    D．49

【解析】**為A。

做差后，得到一個等比數列∶16，－8，4，－2，1。因此42＋1＝43。故選A。

4．三級等差數列及其變式

數列的后一項減去前一項得到的數列是一個新的二級等差數列及其變式。