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知識點(diǎn)總結(jié)

一、梯形的定義、性質(zhì)及判定：

1.定義：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形.兩腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一個角是直角的梯形叫做直角梯形.

2.分類：梯形分為一般梯形和特殊梯形，特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形.

3.等腰梯形：(1)定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形。

(2)性質(zhì)：等腰梯形的腰相等，同一底上的兩個內(nèi)角相等，等腰梯形的對角線相等。

(3)判定方法：①兩腰相等的梯形是等腰梯形;

②同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形;

③對角線相等的梯形是等腰梯形.

二、三角形、梯形的中位線：

1. 三角形中位線(1)定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

(2)定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

2.梯形中位線(1)定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。

(2)定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

三、研究梯形問題的主要方法：

將梯形問題通過作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形、平行四邊形或矩形來解決。

與些同時，學(xué)生應(yīng)當(dāng)理解并掌握梯形常用的七種輔助線：1.平移一腰;2.過頂點(diǎn)作高;3.平行一條對角線;4.延長兩腰相交于一點(diǎn);5.過一腰中點(diǎn)和頂點(diǎn)作直線;6.過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線;7.作梯形的中位線。

常見考法

(1)考查梯形的有關(guān)概念，梯形的一些有關(guān)計(jì)算(如求梯形的角、高以及面積);

(2)考查梯形中位線、梯形的對角線，以及梯形的常見輔助線的添法;

(3)有關(guān)梯形的拼圖問題以及梯形為背景的實(shí)際問題在段考、中考中也有體現(xiàn)。

誤區(qū)提醒

(1)誤認(rèn)為梯形只有等腰梯形與直角梯形兩種，而實(shí)質(zhì)上這兩種只是梯形的一個特殊情況;(2)對等腰梯形判定定理把握不準(zhǔn)，忽視了“同一底”這一前提條件。

【典型例題】(2010年安徽省模擬)如圖，在梯形ABCD中AD//BC,BD=CD,且∠ABC為銳角，若AD=4 ,BC=12， E為BC上的一點(diǎn)，當(dāng)CE分別為何值時，四邊形ABED是等腰梯形?直角梯形?寫出你的結(jié)論，并加以證明。

解：當(dāng)CE=4時，四邊形ABCD是等腰梯形

在BC上截取CE=AD,連接DE、AE.

又∵AD//BC, ∴四邊形AECD是平行四邊形

∴AE=CD=BD

∵BE=12-4=8>4, 即BE>AD

∴AB不平行于DE ∴四邊形ABED是梯形

∵AE//CD, CD=BD, ∴∠AEB=∠C=∠DBE[來源:學(xué)科網(wǎng)]

在△ABE和△DEB中

AE=DB , ∠AEB=∠DBE, BE=EB

△ABE≌△DEB (SAS) , ∴AB=DE

∴四邊形ABED 是等腰梯形

當(dāng)CE=6,四邊形ABED是直角梯形

在BC上取一點(diǎn)E,使得EC=BE= BC=6,連接DE,

∵BD=CD,∴DE⊥BC

又∵BE≠AD,AD//BE, ∴AB不平行于DE

∴四邊形ABDE是直角梯形。