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知識點總結(jié)

一、勾股定理：

1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

2.勾股定理的證明：

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：

(1)圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變;

(2)根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理。

4.勾股定理的適用范圍：

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。

二、勾股定理的逆定理

1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。

說明：(1)勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形;

(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：

(1)確定最大邊;

(2)算出最大邊的平方與另兩邊的平方和;

(3)比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。

三、勾股數(shù)

能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).

四、一個重要結(jié)論：

由直角三角形三邊為邊長所構(gòu)成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。

五、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

解決圓柱側(cè)面兩點間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。

常見考法

(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)應(yīng)用勾股定理建立方程;(3)實際問題中應(yīng)用勾股定理及其逆定理。

誤區(qū)提醒

(1)忽略勾股定理的適用范圍;(2)誤以為直角三角形中的一定是斜邊。

【典型例題】(2010 湖北孝感)

[問題情境]

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。

[定理表述]

請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述);

[嘗試證明]

以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形(如圖2)，請你利用圖2，驗證勾股定理;

[知識拓展]